Minimaalidiskriminanttisia jakoalgebroja
Lehtilä, Taneli (2017-12-04)
Minimaalidiskriminanttisia jakoalgebroja
Lehtilä, Taneli
(04.12.2017)
Tätä artikkelia/julkaisua ei ole tallennettu UTUPubiin. Julkaisun tiedoissa voi kuitenkin olla linkki toisaalle tallennettuun artikkeliin / julkaisuun.
Turun yliopisto
Tiivistelmä
Tässä tutkielmassa konstruoidaan minimaalidiskriminanttisia jakoalgebroja. Jakoalgebroja on mahdollista hyödyntää langattomassa tiedonsiirrossa käytettävien ns. aika-avaruuskoodien tuottamisessa. Syy etsiä mahdollisimman pienen diskriminantin omaavia jakoalgebroja juontuu siitä, että ne johtavat parempiin koodeihin. Tässä työssä jakoalgebrojen konstruointia kuitenkin käsitellään täysin lukuteoreettisena ongelmana.
Työn alussa esitetään myöhemmissä luvuissa tarvittavat algebrallisen lukuteorian perusteet. Tutustutaan muun muassa Frobenius-automorfismin, Tšebotarevin tiheyslauseen ja lukukuntien täydellistymien käsitteisiin. Tämän jälkeen tarkastellaan jakoalgebroihin liittyviä tuloksia ja todistetaan niiden pienimmälle mahdolliselle diskriminantille alaraja käyttäen luokkakuntateoreettisia menetelmiä. Lopuksi esitetään konstruktio $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$-keskeisille minimaalidiskriminanttisille jakoalgebroille.
Työn alussa esitetään myöhemmissä luvuissa tarvittavat algebrallisen lukuteorian perusteet. Tutustutaan muun muassa Frobenius-automorfismin, Tšebotarevin tiheyslauseen ja lukukuntien täydellistymien käsitteisiin. Tämän jälkeen tarkastellaan jakoalgebroihin liittyviä tuloksia ja todistetaan niiden pienimmälle mahdolliselle diskriminantille alaraja käyttäen luokkakuntateoreettisia menetelmiä. Lopuksi esitetään konstruktio $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$-keskeisille minimaalidiskriminanttisille jakoalgebroille.