Lyhimmän reitin ongelmat
Zeqiri, Blend (2020-04-13)
Lyhimmän reitin ongelmat
(13.04.2020)
Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.
avoin
Julkaisun pysyvä osoite on:
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2020041719170
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2020041719170
Tiivistelmä
Tutkielmassa tarkastellaan kahden annetun pisteen välisen lyhimmän tai nopeimman reitin etsimistä erilaisissa tapauksissa. Esimerkiksi reitti voidaan määrätä kulkemaan jonkin pisteen tai alueen kautta.
Peruskäsitteiden ja tulosten jälkeen käsitellään ensin Heronin menetelmää lyhimmän reitin selvittämiseksi kahden pisteen välillä, kun reitti heijastuu suorasta. Menetelmän pääperiaatteena on, että lyhimmällä reitillä tulokulma on yhtä suuri kuin heijastuskulma, mikä voidaan todeta käyttämällä peilausta ja kolmioiden yhtenevyyttä. Heronin menetelmää käyttäen ratkaistaan yksinkertaisia lyhimmän reitin tapauksia.
Yksinkertaisten ongelmien jälkeen käydään läpi esimerkki ongelmasta, jossa eri alustat vaikuttavat reitin valintaan. Tällöin huomataan, että lyhin reitti ei välttämättä ole nopein reitti. Alustoina ovat uima-altaan vesi ja sitä ympäröivä asfaltti. Toisin kuin yksinkertaisissa ongelmissa, nopeimman reitin ratkaiseminen vaatii geometrisen tarkastelun lisäksi myös laskennallista työtä.
Seuraavaksi tarkastellaan tapauksia, joissa pisteiden A ja B välisen reitin on kuljettava annetun ympyrän kehän kautta. Pisteet voivat olla eri puolilla kehää tai samalla puolella. Jälkimmäinen jakautuu vielä kahteen tapaukseen, joissa molemmat pisteet A ja B ovat kehän sisä- tai ulkopuolella. Kun pisteet ovat sisäpuolella, saadaan lyhin reitti muodostamalla tasakylkinen kolmio pisteiden avulla. Tästä luodaan yleinen kaava, jolla saadaan ratkaistua kehäpisteen C sijainti, jolla reitin ACB pituus on lyhin. Tapauksessa jossa pisteet A ja B ovat ympyrän kehän ulkopuolella konstruoidaan kompleksilukuyhtälö, jonka avulla voidaan ratkaista lyhimmän reitin kehäpisteen C sijainti.
Peruskäsitteiden ja tulosten jälkeen käsitellään ensin Heronin menetelmää lyhimmän reitin selvittämiseksi kahden pisteen välillä, kun reitti heijastuu suorasta. Menetelmän pääperiaatteena on, että lyhimmällä reitillä tulokulma on yhtä suuri kuin heijastuskulma, mikä voidaan todeta käyttämällä peilausta ja kolmioiden yhtenevyyttä. Heronin menetelmää käyttäen ratkaistaan yksinkertaisia lyhimmän reitin tapauksia.
Yksinkertaisten ongelmien jälkeen käydään läpi esimerkki ongelmasta, jossa eri alustat vaikuttavat reitin valintaan. Tällöin huomataan, että lyhin reitti ei välttämättä ole nopein reitti. Alustoina ovat uima-altaan vesi ja sitä ympäröivä asfaltti. Toisin kuin yksinkertaisissa ongelmissa, nopeimman reitin ratkaiseminen vaatii geometrisen tarkastelun lisäksi myös laskennallista työtä.
Seuraavaksi tarkastellaan tapauksia, joissa pisteiden A ja B välisen reitin on kuljettava annetun ympyrän kehän kautta. Pisteet voivat olla eri puolilla kehää tai samalla puolella. Jälkimmäinen jakautuu vielä kahteen tapaukseen, joissa molemmat pisteet A ja B ovat kehän sisä- tai ulkopuolella. Kun pisteet ovat sisäpuolella, saadaan lyhin reitti muodostamalla tasakylkinen kolmio pisteiden avulla. Tästä luodaan yleinen kaava, jolla saadaan ratkaistua kehäpisteen C sijainti, jolla reitin ACB pituus on lyhin. Tapauksessa jossa pisteet A ja B ovat ympyrän kehän ulkopuolella konstruoidaan kompleksilukuyhtälö, jonka avulla voidaan ratkaista lyhimmän reitin kehäpisteen C sijainti.