Geometry of Intrinsic Metrics

Abstract

The study of intrinsic metrics is an interesting area of research in the geometric function theory, which is a subfield of mathematical analysis. The topics of research include quasiregular mappings, conformal capacity and boundary geometry of domains. I study here the inequalities between different hyperbolic type metrics, focusing especially on the properties of the triangular ratio metric.

This work consists of six original articles publicly available on arXiv.org. The first article introduces several sharp inequalities between the triangular ratio metric, the hyperbolic metric and other hyperbolic type metrics in an open sector of the complex plane. A new result describing the distortion of the triangular ratio metric under quasiconformal mappings is also given in this article.

In the second and the third articles, the so-called midpoint rotation is used to create inequalities for the triangular ratio metric. Namely, the second article defines the triangular ratio metric and the Möbius metric in an annular ring domain, explains how these metrics can be efficiently computed in this domain and also gives a new Möbius-invariant lower bound for the conformal capacity. In the third article, the value of the triangular ratio metric is estimated in the unit disk by using both the Euclidean and the hyperbolic midpoint rotations.

The fourth article concerns two intrinsic quasi-metrics, out of which one is already known and the other is first introduced in this paper, and shows how they offer upper and lower bounds for the triangular ratio metric. In the fifth article, the results of the third and the fourth articles are used to obtain new information about the distortion of the intrinsic metrics under conformal and quasiregular mappings. The sixth article deals with two domain functionals defined with the hyperbolic metric, uses them to study the uniform perfectness and gives a new lower bound for the conformal capacity.

These six articles offer the reader an advanced understanding of intrinsic metrics, the inequalities between them and their behaviour under different types of mappings. The results found here can be applied, for instance, to study the conformal capacity further or find new information about the intrinsic geometry of numerous domains. Studying the conjectures introduced in the articles can also provide ground for future research.

TIIVISTELMÄ

Intrinsisten metriikoiden tutkimus on mielenkiintoinen osa geometrista funktioteoriaa, joka on puolestaan matemaattisen analyysin osa-alue. Tutkimusaiheisiin kuuluvat kvasisäännölliset kuvaukset, konforminen kapasiteetti ja metriikoiden määrittelyjoukon reunan geometria. Tutkin tässä työssä useiden hyperbolistyyppisten metriikoiden välisiä epäyhtälöitä keskittyen eritoten kolmisuhdemetriikan eri ominaisuuksiin.

Väitöskirjani koostuu kuudesta alkuperäisartikkelista, jotka ovat julkisesti saatavilla arXiv.org-nettisivustolla. Ensimmäinen artikkeli esittelee useita tarkkoja epäyhtälöitä kolmisuhdemetriikalle, hyperboliselle metriikalle ja muille hyperbolistyyppisille metriikoille kompleksitason avoimessa sektorissa. Artikkelissa annetaan myös uusi tulos kolmisuhdemetriikan käyttäytymisestä kvasikonformikuvauksissa.

Toinen ja kolmas artikkeli hyödyntävät kolmisuhdemetriikan tutkimuksessa uutta menetelmää, jossa tarkasteltavat pisteet kierretään niiden keskipisteen suhteen. Toinen artikkeli tutkii kolmisuhdemetriikkaa ja Möbius-metriikkaa renkaan muotoisessa joukossa, antaa tapoja näiden metriikoiden arvojen laskemiseksi ja esittelee uuden Möbius-invariantin alarajan konformiselle kapasiteetille. Kolmas artikkeli sen sijaan hyödyntää sekä euklidista että hyperbolista kiertoa, ja antaa uudet ylä- ja alarajat yksikkökiekossa määritellylle kolmisuhdemetriikalle.

Neljäs artikkeli käsittelee kahta kolmisuhdemetriikan tutkimuksen kannalta hyödyllistä intrinsistä kvasimetriikkaa, joista toinen on jo tunnettu ja toinen esitellään artikkelissa ensimmäistä kertaa. Viidennessä artikkelissa yhdistetään kolmannen ja neljännen artikkelin tuloksia, ja luodaan niiden pohjalta epäyhtälöitä intrinsisten metriikoiden arvoille konformisissa ja kvasisäännöllisissä kuvauksissa. Kuudes artikkeli esittelee kaksi hyperbolisen metriikan määrittelyjoukosta riippuvaa suuretta, tutkii niiden avulla uniformista perfektiyttä ja antaa uuden alarajan kapasiteetille.

Nämä kuusi artikkelia antavat lukijalle kokonaisvaltaisen kuvan intrinsistä metriikoista, niiden välisistä epäyhtälöistä ja niiden käyttäytymisestä erityyppisissä kuvauksissa. Artikkelien tuloksia voidaan käyttää esimerkiksi konformisen kapasiteetin arvioinnissa ja erilaisten joukkojen intrinsisen geometrian tutkimisessa. Tutkimuksessani esitellään myös muutama uusi konjektuuri, jotka antavat suuntaa ja ideoita jatkotutkimukselle.