Modern approaches to classical additive problems

Abstract

In this thesis, we study additive problems using the transference principle and the Hardy-Littlewood circle method. The problems studied are related to Waring's prolem and Goldbach's conjecture. Waring's problem states that all natural numbers can be written as the sum of a bounded number of kth powers, for any fixed k. Goldbach's conjecture states that all even numbers greater than two can be written as the sum of two prime numbers. The thesis consists of three articles.

In the first article, we study the Waring-Goldbach problem with almost equal summands. In other words, we are interested when a natural number can be written as the sum of kth powers of prime numbers, where the prime numbers are as close to each other as possible. We considerably improve the existing results using the transference principle.

In the second article, we study a density version of Waring's problem. Particularly, we approach the problem: What is the smallest density t such that any subset of kth powers with a relative density larger than t forms an asymptotic additive basis. Here we say that a subset A of natural numbers forms an asymptotic additive basis, when all sufficiently large natural numbers can be written as the sum of a bounded number of elements of A. We prove two results related to this problem. The main result is proved using the transference principle.

In the third article, we study the binary Goldbach conjecture in the case where the summands are restricted to arithmetic progressions with large moduli. We significantly improve the allowed size of moduli. The improvement is based on the suitable use of a Freiman isomorphism inside the circle method.

Tässä väitöskirjasssa tutkitaan additiivisia ongelmia käyttäen transferenssiperiaatetta sekä Hardyn ja Littlewoodin ympyrämenetelmää. Tutkitut ongelmat liittyvät Waringin ongelmaan ja Goldbachin konjektuuriin. Waringin ongelman mukaan jokaiselle luonnolliselle luvulle k on olemassa sellainen luonnollinen luku s, että jokainen luonnollinen luku voidaan esittää s:n k:nnen potenssin summana. Goldbachin konjektuuri taas sanoo, että jokainen kahta suurempi parillinen luku voidaan esittää kahden alkuluvun summana. Väitöskirja koostuu kolmesta artikkelista.

Ensimmäisessä artikkelissa tutkitaan Waring-Goldbachin ongelmaa lyhyillä lukuväleillä. Toisin sanoen ollaan kiinnostuneita siitä milloin luonnollinen luku voidaan esittää alkulukujen k:nsien potenssien summana, missä alkuluvut ovat niin lähellä toisiaan kuin mahdollista. Artikkelissa saadaan merkittävä parannus aikaisempiin tuloksiin käyttäen transferenssiperiaatetta.

Toisessa artikkelissa tutkitaan Waringin ongelman tiheysversiota. Erityisesti ollaan kiinnostuneita seuraavasta ongelmasta: Mikä on pienin sellainen tiheys t siten, että mikä tahansa k:nsien potenssien osajoukko, jonka suhteellinen tiheys on suurempi kuin t, muodostaa asymptoottisen additiivisen kannan? Tässä luonnollisten lukujen osajoukon A sanotaan muodostavan asymptoottisen additiivisen kannan silloin, kun kaikki riittävän suuret luonnolliset luvut voidaan esittää s:n joukon A alkion summana, missä s on jokin rajoitettu luonnollinen luku. Artikkelissa todistetaan kaksi tulosta, jotka pyrkivät vastaamaan tähän kysymykseen. Artikkelin päätulos seuraa transferenssiperiaatteesta.

Kolmannessa artikkelissa tutkitaan binääristä Goldbachin konjektuuria tapauksessa, jossa summattavat on rajoitettu sellaisiin aritmeettisiin jonoihin, joilla on suuri moduuli. Artikkelissa merkittävästi parannetaan sallitun moduulin kokoa verrattuna aikaisempiin tuloksiin. Parannus perustuu ajatukseen käyttää sopivasti valittua Freimanin isomorfismia ympyrämenetelmän kanssa.