Hyperbolisen geometrian perusteet
Hellman, Katri (2022-04-19)
Hyperbolisen geometrian perusteet
(19.04.2022)
Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.
avoin
Julkaisun pysyvä osoite on:
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2022050533053
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2022050533053
Tiivistelmä
Hyperbolinen geometria on osa epäeuklidista geometriaa, eli siinä ei päde paralleelipostulaatti. Paralleelipostulaatti on yksi euklidisen geometrian postulaateista, ja sen mukaan suoralla on olemassa tietyn pisteen kautta vain yksi yhdensuuntainen suora. Hyperbolinen geometria löytyikin sen pohjalta, että pystyttiin osoittamaan, että yhdensuuntaisia suoria voi olla useampia. Hyperbolista geometriaa ilmenee luonnossa ja sitä hyödynnetään niin fysiikassa kuin tietotekniikassa.
Tutkielmassa esitetään hyperbolisen geometrian perustuloksia Poincarén kiekkomallissa ja verrataan niitä vastaaviin euklidisen geometrian perustuloksiin. Lisäksi tehdään lyhyt katsaus epäeuklidisen ja hyperbolisen geometrian historiaan. Hyperbolisesta geometriasta esitellään tuloksia liittyen esimerkiksi yhdensuuntaisiin suoriin, kolmion kulmien summaan sekä pinta-alaan, pisteiden välisen etäisyyden määrittämiseen ja kuvauksiin. Näiden saamiseksi esitellään inversio, Möbius-kuvaus sekä laajennettu kompleksitaso.
Tutkielmassa esitetään hyperbolisen geometrian perustuloksia Poincarén kiekkomallissa ja verrataan niitä vastaaviin euklidisen geometrian perustuloksiin. Lisäksi tehdään lyhyt katsaus epäeuklidisen ja hyperbolisen geometrian historiaan. Hyperbolisesta geometriasta esitellään tuloksia liittyen esimerkiksi yhdensuuntaisiin suoriin, kolmion kulmien summaan sekä pinta-alaan, pisteiden välisen etäisyyden määrittämiseen ja kuvauksiin. Näiden saamiseksi esitellään inversio, Möbius-kuvaus sekä laajennettu kompleksitaso.