Topologiset solitonit ja niiden kvantisointi

Abstract

Tässä tutkielmassa perehdytään topologisesti epätriviaaleihin kenttäkonfiguraatioihin eli topologisiin solitoneihin eri kenttäteorioissa. Topologiset solitonit ovat teorian topologisesti epätriviaaleissa sektoreissa esiintyviä stabiileja ratkaisuja. Erityisesti tarkastellaan kinkkiä, Ginzburgin–Landaun vorteksia, 't Hooftin–Polyakovin monopolia ja Yangin–Millsin instantonia. Avaruusajan ulottuvuudet joissa nämä solitonit ovat määritelty ovat kinkille (1+1), vorteksille (2+1) ja monopolille ja instantonille (3+1). Kinkki on tässä tutkielmassa esimerkkimalli, jonka avulla esitellään kenttäteorioiden topologiaan liittyviä käsitteitä, kuten topologinen varaus ja Bogomolnyn raja. Ginzburgin–Landaun vorteksi on topologinen solitoni, joka esiintyy suprajohteita kuvaavassa Ginzburgin–Landaun teoriassa. Vorteksien avulla voidaan selittää tyypin II suprajohteiden käyttäytymistä korkeissa magneettikenttien voimakkuuksissa. 't Hooftin–Polyakovin monopoli esiintyy SU(2)-symmetriaryhmään perustuvassa mittakenttäteoriassa ja toimii analogiana hypoteettiselle magneettiselle monopolille monimutkaisemmissa teorioissa. Instantonit ovat Euklidisessa avaruusajassa määriteltyjä topologisia solitoneja. Instantonit ovat hyödyllisiä erityisesti kvanttikenttäteorioissa, sillä instantoniratkaisut liittyvät kvanttitunneloitumiseen. Tutkielmassa keskitytään topologisten solitoninen ratkaisujen löytämiseen analyyttisesti, jos tämä on mahdollista, ja topologisen varauksen määrittämiseen. Lisäksi tutustutaan hieman topologisten solitonien esiintymiseen fysikaalisissa teorioissa. Klassisen teorian lisäksi tarkastellaan topologisten solitonien kvantisointia. Kvantisoinnissa keskitytään kinkin kvantisointiin, koska tämä selittää jo tärkeimmät erot teorian kvantisointiin tyhjiösektorissa. Kinkille lasketaan alimmassa approksimaatiossa kinkin energiatilat ja selitetään pääpiirteittäin, miten transitioamplitudi voidaan laskea solitonielle.