Variaatiolaskentaa: sovelluksia ja numeerisia menetelmiä
Rantanen, Katariina (2023-05-24)
Variaatiolaskentaa: sovelluksia ja numeerisia menetelmiä
(24.05.2023)
Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.
avoin
Julkaisun pysyvä osoite on:
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2023053050093
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2023053050093
Tiivistelmä
Tässä Pro-Gradu tutkielmassa käsitellään variaatiolaskentaa ja siihen liittyviä käsitteitä. Variaatiolaskenta on matemaattisen analyysin osa-alue, jossa ratkotaan erilaisia ongelmia tarkastelemalla funktionaalien ääriarvokohtia.
Tutkielman alussa perehdytään yleisesti funktionaalianalyysiin ja funktionaalin käsitteeseen. Tämän jälkeen käsitellään yksi variaatiolaskennan tärkeimmistä tuloksista, Eulerin–Lagrangen yhtälö. Tutkielmassa tutustutaan muutamaan muun muassa fysiikkaan liittyvään minimointiongelmaan, joilla on tietyt reunaehdot. Näiden ehtojen ja Eulerin–Lagrangen yhtälön avulla voidaan muodostaa ratkaistavissa oleva differentiaaliyhtälö. Tutkielman loppupuolella perehdytään variaatiolaskennassa käytettäviin numeerisiin menetelmiin, jotka voidaan jakaa suoriin ja epäsuoriin menetelmiin. Tutkielmassa käsitellään vain suoria menetelmiä. Rayleigh–Ritz -menetelmä ja Galerkin -menetelmä tuottavat usein samoja tuloksia ja elementtimenetelmä on näiden pohjalta luotu, nykyään yksi käytetyimmistä numeerisista menetelmistä.
Tutkielman alussa perehdytään yleisesti funktionaalianalyysiin ja funktionaalin käsitteeseen. Tämän jälkeen käsitellään yksi variaatiolaskennan tärkeimmistä tuloksista, Eulerin–Lagrangen yhtälö. Tutkielmassa tutustutaan muutamaan muun muassa fysiikkaan liittyvään minimointiongelmaan, joilla on tietyt reunaehdot. Näiden ehtojen ja Eulerin–Lagrangen yhtälön avulla voidaan muodostaa ratkaistavissa oleva differentiaaliyhtälö. Tutkielman loppupuolella perehdytään variaatiolaskennassa käytettäviin numeerisiin menetelmiin, jotka voidaan jakaa suoriin ja epäsuoriin menetelmiin. Tutkielmassa käsitellään vain suoria menetelmiä. Rayleigh–Ritz -menetelmä ja Galerkin -menetelmä tuottavat usein samoja tuloksia ja elementtimenetelmä on näiden pohjalta luotu, nykyään yksi käytetyimmistä numeerisista menetelmistä.