Muckenhouptin painofunktioiden yleistys

Abstract

Tässä työssä tutkitaan Muckenhouptin painofunktiota varioivan eksponentin Lebesgue- avaruudessa. Erityisesti osoitetaan kyseisessä avaruudessa riittävä ehto Muckenhoupt- luokalle, jolla Hardyn-Littlewoodin maksimaalioperaattori on rajoitettu.

Työn alkuosassa esitellään taustateoriaa, johon sisältyy työssä tarvittavia määritel- miä, varioivan eksponentin avaruuden ominaisuuksia, log-Hölder-ehdot eksponentille p ja Muckenhouptin painofunktioiden klassinen teoria.

Neljännessä luvussa määritellään yleistetty Muckenhoupt-luokka ja osoitetaan luo- kalle vastaavia perusominaisuuksia kuin klassisessa tapauksessa.

Viidennessä luvussa yleistetään Muckenhouptin painojen parantuvuusominaisuus yleisimmille joukkoperheille Lebesgue-avaruudessa ja todistetaan rajoittuneisuustu- los maksimaalioperaattorille, joka on määritelty spesifin joukkoperheen yli. Nämä tulokset ovat keskeisiä Muckenhoupt-ehdon riittävyyden todistuksessa, jota käsitte- lee tutkielman kuudes ja viimeinen luku.