Differentiaaliyhtälöiden numeeriset menetelmät

Abstract

Differentiaaliyhtälöt ovat laajasti käytössä eri tieteenaloilla, ja niiden ratkaisemiseen tarvitaan usein erilaisia numeerisia menetelmiä. θ-menetelmät ovat suoraviivaisia numeerisia menetelmiä, jotka arvioivat ratkaisuja iteratiivisesti ottamalla askelia derivaatan suuntaan. Näistä tunnetuimpia menetelmiä ovat eksplisiittinen Eulerin menetelmä, implisiittinen Eulerin menetelmä sekä trapetsimenetelmä. θ-menetelmät kärsivät kuitenkin tarkkuusongelmista, varsinkin kun niitä sovelletaan numeerisesti vaikeasti laskettaviin differentiaaliyhtälöihin. Rungen–Kuttan menetelmät taas arvioivat differentiaaliyhtälön ratkaisua monessa pisteessä kullakin askeleella ja tarjoavat siten yleensä tarkempia tuloksia. Yleisimmät Rungen-Kuttan menetelmät ovat toisen asteen Rungen–Kuttan menetelmät ja neljännen asteen Rungen–Kuttan menetelmät.