Metrics and Quasiconformal Maps

Abstract

Tiivistelmä

Tutkin väitöskirjassani klassillisen analyysin alueeseen kuuluvaa geometrista funktioteoriaa. Tutkimuskohteena ovat konformi- ja kvasikonformikuvaukset sekä harmoniset kuvaukset ja näiden ominaisuudet. Eräs keskeinen aihe on tutkia pisteparien etäisyyksien vääristymistä tarkasteltavissa kuvauksissa erikoisfunktioiden avulla.

Tutkimusalan merkitys perustuu yhteyksiin ja sovelluksiin mm. fysiikkaan, tekniikkaan, sekä muihin matematiikan aloihin, esim. dynaamisiin systeemeihin, potentiaaliteoriaan ja lukuteoriaan.

Tarkastelen työssäni erilaisia tapoja mitata euklidisen avaruuden osa-alueissa pisteparien välisiä etäisyyksiä metriikoiden avulla sekä näin mitattujen etäisyyksien muuntumista kuvausluokissa. Parhaiten soveltuvia metriikoita ovat hyperbolinen, kvasihyperbolinen ja visuaalinen metriikka.

Tärkeimpiä huomioita ovat seuraavat • hyperbolisen metriikan vertailu konveksin alueen sisäisiin metriikoihin • tehokas algoritmi erikoisfunktioiden laskentaan • kaavat visuaalisen metriikan ja hyperbolisen metriikan välille yksikkökiekon tapauksessa ja näiden avulla ilmaistu uusi versio Schwarzin lemmalle • Harnackin epäyhtälöön liittyvät huomiot • jatkotutkimukseen soveltuvien aiheiden esittely

Tutkimukseni tuo uusia ideoita alan teoriaan ja havainnollistaa saavutettujen tulosten tarkkuutta esimerkein.

Abstract

In my dissertation, I studied the geometric function theory, which is a subfield of classical analysis. The subject of research is conformal and quasi-conformal mappings, as well as harmonic mappings and their properties. One key topic is to study the distortion of the distances of pairs of points under the mappings with the help of special functions.

The importance of the research field is based on connections and applications, e.g. physics, technology, and other fields of mathematics, e.g. dynamical systems, potential theory, and number theory.

In my research, I examine various methods of determining the distances between pairs of points within subdomains of Euclidean space with the help of metrics and the transformation of the distances measured in this way under the mappings. The most suitable metrics include hyperbolic, quasihyperbolic, and visual angle metrics.

The most important observations are the following: • comparison of the hyperbolic metric with intrinsic metrics within a convex polygonal domain; • an efficient algorithm for calculating special functions that occur; • new formulas for the visual angle metric of the unit disk and with the help of these, a new version of Schwarz’s lemma was stated; • considerations related to Harnack’s inequality; • presentation of topics suitable for further research.

My research brings new ideas to the theory of this research area and illustrates the accuracy of the achieved results with examples.