Eulerin sarjasta ja arkustangentista
Willman, Aurora (2024-06-12)
Eulerin sarjasta ja arkustangentista
(12.06.2024)
Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.
avoin
Julkaisun pysyvä osoite on:
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2024061854322
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2024061854322
Tiivistelmä
Tutkielmassa tarkastellaan kahta tapaa laskea likiarvoja luvulle pii käyttäen arkustangentin sarjakehitelmää ja Eulerin sarjan summaa. Aluksi käsitellään oleellista teoriaa ja sitten tulosten todistukset.
Arkustangentin sarjakehitelmä johdetaan integroimalla sopiva geometrinen sarja ja sen suppenevuus laajennetaan suppenemisvälin päätepisteisiin Abelin lauseen avulla. Tuloksena saadaan hitaasti kohti lukua pii suppeneva sarja.
Riemannin zeeta-funktio laskee yliharmonisten sarjojen summia ja zeeta-funktion arvo pisteessä s = 2 on Eulerin sarjan summa. Eulerin sarjan summa lasketaan kahdella eri tavalla käyttämällä kaksinkertaista integraalia. Ensimmäisessä lähestymistavassa saadaan suoraan Eulerin sarjan summa, kun taas toisessa tehdään muuttujanvaihtoja ja sijoituksia integraalissa, jotta voidaan hyödyntää symmetriaa. Näin saadaan kyseisen integraalin tulos lausuttua luvun pii avulla. Lasketaan myös summa muunnelmasarjalle Eulerin sarjan parittomilla indekseillä myös kaksinkertaisen integraalin avulla hyödyntäen muuttujanvaihdoksia. Lopuksi johdetaan koko sarjan summasta sekä parittomien indeksien sarjan summasta summa myös parillisten indeksien sarjalle.
Arkustangentin sarjakehitelmä johdetaan integroimalla sopiva geometrinen sarja ja sen suppenevuus laajennetaan suppenemisvälin päätepisteisiin Abelin lauseen avulla. Tuloksena saadaan hitaasti kohti lukua pii suppeneva sarja.
Riemannin zeeta-funktio laskee yliharmonisten sarjojen summia ja zeeta-funktion arvo pisteessä s = 2 on Eulerin sarjan summa. Eulerin sarjan summa lasketaan kahdella eri tavalla käyttämällä kaksinkertaista integraalia. Ensimmäisessä lähestymistavassa saadaan suoraan Eulerin sarjan summa, kun taas toisessa tehdään muuttujanvaihtoja ja sijoituksia integraalissa, jotta voidaan hyödyntää symmetriaa. Näin saadaan kyseisen integraalin tulos lausuttua luvun pii avulla. Lasketaan myös summa muunnelmasarjalle Eulerin sarjan parittomilla indekseillä myös kaksinkertaisen integraalin avulla hyödyntäen muuttujanvaihdoksia. Lopuksi johdetaan koko sarjan summasta sekä parittomien indeksien sarjan summasta summa myös parillisten indeksien sarjalle.