Johdatus aikateoriaan

Abstract

Tutkimuksen tavoite on löytää aikateoria, formalisoida ajan käsite matemaattisissa tieteissä, sekä yleistää aika matemaattisiin avaruuksiin, siten että ajan matemaattiset ja filosofiset perusteet ovat yhtä. Vuosisatoja kestänyt filosofinen tutkimustyö on päätynyt kahteen ajan teoriaan, jotka ovat absoluuttinen ja suhteellinen aika. Matemaattisissa tieteissä vallitseva aikakäsitys on absoluuttisen ajan teoria, joka on kuitenkin vain osa ajan kokonaiskuvaa. Täysipainoinen matemaattinen ajan teoria käsittäisi myös suhteellisen ajan mutta olisi hyvin perusteltu ja ristiriidaton muiden teorioiden kanssa.

Aikateoria perustuu kahdelle premissille. Ensimmäinen premissi on se, että jotain on olemassa. Tästä premissistä rakennetaan aikateorian matemaattinen perusta. Matemaattisesti premissi esitetään siten, että on olemassa ainakin yksi objekti, jonka katsotaan edustavan koko maailmaa. Kategoriateoria osoittautuu intuitiiviseksi ja yleispäteväksi ympäristöksi käsitellä ensimmäistä premissiä.

Toinen premissi on se, että mitä on olemassa voi muuttua. Toisin sanotusti uskotaan muutoksen olevan olemassa. Muutos ei kuitenkaan ole itse maailmassa vaan maailman ulkopuolella. Muutokselle ei tiedetä syytä, minkä takia se riippuu siitä kontekstista, jossa muutos havaitaan. Muutos määritellään kategoriateoriaan objektin endomorfismina. Tämä endomorfismi liikkuu kategoriassa yhdestä objektista toiseen, mistä seuraa luonnollisesti sellainen matemaattinen rakenne, jota voidaan kutsua ajan suhteelliseksi tai absoluuttiseksi teoriaksi.

Premissien formalisoinnin jälkeen ajan määritelmä tulee kuin itsestään. Suhteellinen ja absoluuttinen aika ovat kuitenkin vain maailman mallin kaksi eri aikakuvaa. Maailman on se referenssi, johon sekä suhteellinen että absoluuttinen aika sitoutuvat temporaalisesti ja mallintaakseen maailman muutosta.

Tässä tekstissä esitetty ajan teoria ei välttämättä ole se aikateoria, joka selittää ajan luonteen täysin. Tämän tutkimustyön tarkoitus on loppujen lopuksi huomioida se puute, että matematiikassa ei ole olemassa hyvin määriteltyä, kokonaisvaltaista, tiukasti perusteltua ajan teoriaa. Useat eri matematiikan osa-alueet kuitenkin sitoutuvat jonkinlaiseen aikakäsitykseen. Ilman kunnollista ajan teoriaa matematiikka ei voi edetä näillä osa-alueilla pidemmälle, kuin mikä nykytilassa on mahdollista.