Stokastisten differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen numeerisesti

Abstract

Tutkielmassa esitellään stokastisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen numeerisilla menetelmillä. Stokastisia differentiaaliyhtälöitä esiintyy paljon erialoilla ja tutkielmassa näytetään, miten rahoitusalan optioiden hinnoittelu onnistuu näillä.

Stokastinen differentiaaliyhtälö, on differentiaaliyhtälö, jossa jonkin termin taustalla on stokastinen prosessi. Näitä käytetään, kun mallinnettavan ilmiön kehitykseen liittyy satunnaisuutta. Tätä satunnaisuutta kuvataan Brownin liikkeellä. Koska Brownin liikkeen polut eivät ole rajoitetusti heilahtelevia, ei differentiaaliyhtälöä voida ratkaista perinteisillä keinoilla kuten Stieltjesin integraalilla. Tämän vuoksi yhtälö ratkaistaan käyttäen avuksi Itôn integraalia ja Itôn lemmaa. Itôn integraali on stokastinen integraali, joka on Stieltjesin integraalin yleistys. Itôn integraali mahdollistaa integroinnin Brownin liikkeen polun suhteen. Itôn lemma on muuttujanvaihtokaava Itôn integraalista.

Aina stokastisia differentiaaliyhtälöitä ei voida ratkaista eksplisiittisesti ja tällöin käytetään numeerisia menetelmiä. Yksinkertaisimmat menetelmät ovat Euler-Maruyama ja Milsteinin menetelmät, joiden apuna käytetään usein vielä Monte Carlo - simulaatiota. Menetelmissä simuloidaan polkuja valitulla askelpituudella. Yleisesti Milsteinin menetelmää pidetään hieman Euler-Maruyamaa tarkempana.

Rahoitusalla yleinen stokastinen differentiaaliyhtälö on optioiden hinnoittelussa käytettävä Black-Scholes-malli. Mallilla voidaan laskea teoreettinen hinta optioille, joka on eurooppalaisten optioiden tapauksessa eksplisiittinen. Amerikkalaisten ja aasialaisten optioiden tapauksessa tämä ei kuitenkaan onnistu. Tutkielmassa lasketaan approksimaatiot eurooppalaiselle ja aasialaiselle optiolle ja huomataan, että tarkan vastauksen tuntiessa, Euler-Maruyama toimii yleisen käsityksen vastaisesti tarkemmin kuin Milsteinin menetelmä.